Regra de três simples e composta

Regra de três

Efetivamente usada nas operações financeiras.

princípio de sobre carga iniciaremos com regra de três composta e posteriormente a regra de três simples.

Na resolução de problemas envolvendo regra de três, precisamos montar uma tabela onde cada variável deve ser apresentada em grupo, ou seja, tempo com tempo, pessoas com pessoas, etc; A variável do problema deve sempre ser igualada com sua proporcional e posteriormente multiplicada pelas de mais razões, tendo atenção especial nas respostas das perguntas provocadas durante a resolução dos problemas.

Exemplo

Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?

Eng           horas              dias           projetos

10               6                   10               5

x                8                   15               8

As perguntas

1) 10 engenheiros fazem um serviço em 6 h, se tivessem 8h prá fazer o mesmo serviço, precisaria de mais ou menos engenheiros?

menos engenheiros, então escreveremos a menor fração

2) 10 eng fazem um serviço em 10 dias, se tivessem 15 dias prá fazer o mesmo serviço, precisaria de mais ou menos engenheiros?

menos engenheiros, então escreveremos a menor fração

3) 10 engenheiros fazem 5 projetos,  prá fazer 8 projetos no mesmo tempo, precisaria de mais ou menos engenheiros?

mais engenheiros, então escreveremos a maior fração

Exercícios

1) Se 33 coelhos comem 126 quilos de cenoura por dia, quantos quilos comerão 77 coelhos?

2) Uma obra pode ser feita por 63 operários em 20 dias. Quantos dias demorarão 84 operários para fazer a mesma obra?

3) Com a velocidade de 80 Km/h, vou de São Paulo ao Rio em aproximadamente 6 horas. Quanto tempo levaria, para a mesma viagem, se viajasse a 100 km/h?

4) Em trinta dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960m de comprimento por 9 m de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, em 20 dias, de 600 m de comprimento por 10 m de largura?

5) Um gramado de 720 m² foi podado por dois homens que trabalharam 6 hoas por dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias?

6) Um homem come duas bananas em 3 minutos. Quantos homens comeriam 60 bananas em meia hora?

7)UNIMEP - Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários quantos gatos?

a) 30       b) 15        c) 6          d)4            e) 2

Parábola no Cabri

Pentágono no Cabri

Binômio de Newton

Binômio de Newton                                                                sobre Newton

Triângulo de Pascal ou de Tartaglia

  

Substituindo cada um dos binomiais, teremos:

       

Veja algumas das propriedades.

Numa mesma linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos têm valores iguais.

A soma dos binomiais de uma mesma linha é uma potencia de base dois (Se o binomial está na linha cinco, sua soma será 2⁵).

A soma de binomiais consecutivos de uma mesma linha é igual ao coeficiente binomial da linha seguinte, que pertence à coluna do segundo coeficiente.

O triângulo de Pascal também é aplicado no desenvolvimento de ( x + a )ⁿ, n Є R e a Є R. Atribuindo valores para n, observamos que os coeficientes do desenvolvimento de ( x + a)ⁿ são as linhas do triângulo de Pascal.

Assim, teremos:

Deste modo:

Note que apresentamos primeiramente a variável, onde os coeficientes da primeira ou única variável decresce enquanto o coeficiente do numeral ou da segunda variável, aumenta.

Note ainda que ao começar da linha zero, teremos um elemento a mais em cada linha, ou seja, se o expoente é quatro, teremos cinco elementos; Este fato terá também implicações na posição dos elementos, pois ao identificar o 7° elemento, devemos lembrar que começamos do zero, assim a classe (denominador) do binomial será um a menos, no caso p = 6.

Termo geral de um binômio

Observe que os binômios começam sempre com a classe zero, por essa razão, um termo qualquer de um binômio, será sempre uma posição anterior à classe.

Exemplo

Encontrar o 4° termo no desenvolvimento de (x + 2)⁵

teremos que p + 1 = 4, logo, p = 3 (sempre um a menos), assim:

  

Em casos que um dos termos é negativo (normalmente o segundo) devemos ter valores com sinais intercalados, ou seja, o primeiro positivo, o segundo negativo e assim sucessivamente. Isto pela razão de que o segundo termo será sempre elevado a zero na primeira casa o que o torna em número positivo (um) e o segundo deve ser expoente ímpar o que o conserva negativo se já era negativo.

Exercícios

1) Calcule as expressões utilizando as propriedades do triângulo de Pascal.

Exercícios

1) Desenvolva os seguintes Binômios:

    

2) Determine o 3° termo de (x  + 6)⁷

3) Ache o coeficiente numérico de x² no desenvolvimento de (1 – 2x)⁶.

4) Encontre o termo médio de (x  + 1)⁸.

Note que: 

Principais propriedades

1 - Os binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

2 - O somatório dos binomiais de uma linha é uma potência de base 2, sendo o expoente o número correspondente à linha dada.  Assim:

  

Exercícios 

Calcule as expressões utilizando as propriedades do triângulo de Pascal:

Finalidade do Blog

           Usaremos esta ferramenta a partir de 2013, na incrementação das aulas de Matemática no Ensino médio e fundamental.
           Aqui postaremos os complementos, links e curiosidades que viabilizem a melhor e mais moderna forma de aprender tão maravilhosa ciência. A Matemática