Binômio de Newton sobre Newton
Triângulo de Pascal ou de Tartaglia
Substituindo cada um dos binomiais, teremos:
Veja algumas das propriedades.
Numa mesma linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos têm valores iguais.
A soma dos binomiais de uma mesma linha é uma potencia de base dois (Se o binomial está na linha cinco, sua soma será 25).
A soma de binomiais consecutivos de uma mesma linha é igual ao coeficiente binomial da linha seguinte, que pertence à coluna do segundo coeficiente.
O triângulo de Pascal também é aplicado no desenvolvimento de ( x + a )n, n Є R e a Є R. Atribuindo valores para n, observamos que os coeficientes do desenvolvimento de ( x + a)n são as linhas do triângulo de Pascal.
Assim, teremos:
Deste modo:
Note que apresentamos primeiramente a variável, onde os coeficientes da primeira ou única variável decresce enquanto o coeficiente do numeral ou da segunda variável, aumenta.
Note ainda que ao começar da linha zero, teremos um elemento a mais em cada linha, ou seja, se o expoente é quatro, teremos cinco elementos; Este fato terá também implicações na posição dos elementos, pois ao identificar o 7° elemento, devemos lembrar que começamos do zero, assim a classe (denominador) do binomial será um a menos, no caso p = 6.
Termo geral de um binômio
Observe que os binômios começam sempre com a classe zero, por essa razão, um termo qualquer de um binômio, será sempre uma posição anterior à classe.
Exemplo
Encontrar o 4° termo no desenvolvimento de (x + 2)5
teremos que p + 1 = 4, logo, p = 3 (sempre um a menos), assim:
Em casos que um dos termos é negativo (normalmente o segundo) devemos ter valores com sinais intercalados, ou seja, o primeiro positivo, o segundo negativo e assim sucessivamente. Isto pela razão de que o segundo termo será sempre elevado a zero na primeira casa o que o torna em número positivo (um) e o segundo deve ser expoente ímpar o que o conserva negativo se já era negativo.
Exercícios
1) Calcule as expressões utilizando as propriedades do triângulo de Pascal.
Exercícios
1) Desenvolva os seguintes Binômios:
2) Determine o 3° termo de (x + 6)7
3) Ache o coeficiente numérico de x² no desenvolvimento de (1 – 2x)6.
4) Encontre o termo médio de (x + 1)8.
Note que:
Principais propriedades
1 - Os binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
2 - O somatório dos binomiais de uma linha é uma potência de base 2, sendo o expoente o número correspondente à linha dada. Assim:
Exercícios
Calcule as expressões utilizando as propriedades do triângulo de Pascal:
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